Streuungsmaße

Streuungsmaße bilden nicht nur den arithmetischen Durchschnitt, sondern vor allem die Abweichungen von diesem ab. Die drei am häufigsten verwendeten Streuungsmaße sind die Varianz, die Standardabweichung und die mittlere absolute Abweichung. Um diese zu berechnen, ist es ebenfalls nötig, den mathematischen Erwartungswert zu berechnen.

Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichteter Durchschnittswert aller möglichen Ergebnisse. Seine Formel lautet:

µ_i = Σe_ij * p_j 

Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte aller möglichen Ergebnisse und ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Beispiel:

Es gibt zwei Handlungsalternativen, bei denen je 4 Ergebnisse möglich sind.

Für diese Ergebnisse gelten folgende Wahrscheinlichkeiten:

Für a₁ gilt: µ = 2 * 0,4 + 2 * 0,1 + 3 * 0,1 + 3 * 0,4 = 2,5

Der mathematische Erwartungswert beträgt also 2,5.

Für a₂ gilt: µ = 1 * 0,3 + 5 * 0,2 + 3 * 0,3 + 1 * 0,2 = 3,6

Hier beträgt der mathematische Erwartungswert also 3,6.

Die Varianz misst die Abweichung einer zufälligen Variablen x von ihrem Erwartungswert E(x) und ist stets ≥ 0.Die Formel für die Varianz lautet:

σ² = Σ(e_ij – µ)² * p_j

Die Varianz ist die quadrierte Summe der Differenzen zwischen den möglichen Ergebniswerten und dem Erwartungswert, die mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multipliziert wird.

Für a₁ gilt: σ² = (2 – 2,5)² * 0,4 + (2 – 2,5)² * 0,1 + (3 – 2,5)² * 0,1 + (3 – 2,5)² * 0,4 = 0,25

Die Varianz beträgt also 0,25.

Für a₂ gilt: σ² = (1 – 3,6)² * 0,3 + (5 – 3,6)² * 0,2 + (3 – 3,6)² * 0,3 + (1 – 3,6)² * 0,2 =

3,88

Die Varianz beträgt also 3,88.

Die Standardabweichung ist lediglich die Wurzel aus der Varianz:

σ = √(Σ(e_ij – µ)² * p_j)

Für a₁ beträgt σ also √0,25 = 0,5.

Für a₂ hingegen beträgt σ = √3,88 = 1,97.

Die Standardabweichung ist abzugrenzen von der mittleren absoluten Abweichung. Diese beschreibt die gewichtete betragliche Erwartungswertabweichung und wird mit folgender Formel berechnet:

d = Σ |e_j – µ| * p

Für a₁ gilt: d = (2 – 2,5) * 0,4 + (2 – 2,5) * 0,1 + (3 – 2,5) * 0,1 + (3 – 2,5) * 0,4 = 0

Für a₂ gilt: d = (1 – 3,6) * 0,3 + (5 – 3,6) * 0,2 + (3 – 3,6) * 0,3 + (1 – 3,6) * 0,2 =

-1,2